Ein Extremwert gibt den höchsten / geringsten Wert einer Reihe von Möglichkeiten an.

Möchte man zum Beispiel die größtmögliche Fläche eines Rechtecks mit bestimmten Umfang U bestimmen. Hängt dieser von zwei Größen (den Seitenlängen) a und b ab. Dabei gilt U= 2(a+b) und A=a*b. Stellt man nun den Umfang nach einer Größe um und setzt in die Fläche A ein, so erhält man:

U=2(a+b) \Rightarrow b=\frac{U}{2}-a \\ A=a\cdot b = a\left( \frac{U}{2}-a \right)= \frac{U\cdot a}{2}-a^2

Nun haben wir eine quadratische Funktion A in Abhängigkeit von a, die nach unten geöffnet ist, d.h. der Extremwert ist der höchste Punkt und damit auch der größtmögliche Flächeninhalt.

Führt die Suche nach einem Extremwert einer Größe auf eine Quadratische Funktion, so liefert der Scheitelpunkt (die Extremstelle) des Graphens den Extremwert.

Lambacher Schweizer 9, Mathematik für Gymnasien (S.103)

Jetzt kann man auf zwei Arten weitermachen: Man bringt den Funktionsterm in die Scheitelpunktform

A(x)=a(x+d)^2+e

mit dem Scheitelpunkt S(-d|e), d.h. den größtmöglichen Flächeninhalt erhält man bei x=-d mit A=e. Die zweit Möglichkeit ist, dass man die Formel für die Extremstelle anwendet:

x_E=\frac{-b}{2a}

Beispiel: Zaun

Aufgabe. Lena will für ihre Kaninchen ein Gehege einzäunen. Zur Verfügung steht ihr 20 m Maschendraht. Natürlich will sie, dass die eingezäunte Fläche möglichst groß ist und nutzt deswegen die Hauswand wie in der Abbildung aus. Wie kann sie das Gehege noch optimieren?

Für den Umfang U gilt

U=a+2b\Rightarrow 20 = a+2b \Leftrightarrow a=20-2b.

Setzt man dies in die Formel für die Fläche ein, erhält man die Fläche A(b):

A(b)=b(20-2b)=-2b^2 \cdot 20b

Die Extremstelle ist b=(-20)/(-2*2)=5, also erreicht Lena den größtmöglichen Flächeninhalt bei b=5 und a=20-2*5=10 mit A=5*10=50.

Veranschaulicht ist das in der folgenden Animation:

Beispiel: Tisch

Aufgabe. Ein quadratischer Tisch mit k=2m Seitenlänge (im folgendem lasse ich die Einheit weg) soll entsprechend der Skizze mit einer dunklen Einlegearbeit verziert werden. Aus Kostengründen soll dieser Flächenanteil möglichst klein werden. Wie groß ist er mindestens.

Da a+b=2, kann man nach a umstellen und und dann einsetzen:

a+b=2\Rightarrow a=2-b \\ A(a,b)=a^2+b^2 \Rightarrow A(b)=(2-b)^2+b^2\\ A(b)=4-4b+2b^2

Jetzt kann man die Extremstelle b_E bestimmen: b_E=(-b)/(2a)= -4/(-4)=1 Setzt man dies noch in den Term ein, so erhält man

A(1)=2

Das heißt der kleinstmögliche Flächenanteil ist 2/4=0.5.

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